Question

【題目】任意連結正六邊形的6個頂點組成一條閉折線．求證當中必有兩條邊是平行的．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

用、、、、、代表六個頂點，

由圖可見，兩兩連線的15條線段可以分為六類平行線：

（1），其下標滿足．

（2），其下標滿足．

（3），其下標滿足．

（4），其下標滿足．

（5），其下標滿足．

（6），其下標滿足．

由此可以得出兩個結論：

結論1 兩條線段的充要條件是．

如圖，有

．

結論2 六類平行線恰好對應著模6的六個剩余1，2，3，4，5，0.

由于封閉折線上的每一點都是兩條線段的端點，因而其六條線段上各端點下標之和為

． ①

若封閉折線上的六條邊分別取自上述六類(每類一條)，

則其端點下標之和關于模6取遍1，2，3，4，5，0，有．

這與①矛盾．所以，封閉折線上的六條邊最多取自五類，至少有兩條邊屬于同一類，這同一類的邊就互相平行.