Question

已知拋物線y²=4x的焦點F₁與中心在原點的橢圓C的右焦點重合，且橢圓C過點（1，

2

2

）．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）過點F₁作直線l與橢圓C交于A、B兩點，且點T是x軸上的一點，橫坐標為2，求|

TA

+

TB

|的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由拋物線y²=4x可得焦點F₁（1，0），可得橢圓的半焦距c=1．設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，把點（1，

2

2

）代入可得：

1

a2

+

1

2b2

=1，又a²=b²+1，即可解得；
（II）（i）當直線l的斜率不存在時，可得A(1，

2

2

)，B(1，-

2

2

)，又T（2，0），即可得出|

TA

+

TB

|=2．
（ii）當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-1），與橢圓的方程聯立可化為（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得根與系數的關系．又

TA

=（x₁-2，y₁），

TB

=(x2-2，y2)，即可得出|

TA

+

TB

|2=(x1+x2-4)2+(y1+y2)2，代入換元再利用二次函數的單調性即可得出．

解答： 解：（I）∵拋物線y²=4x的焦點F₁（1，0）與中心在原點的橢圓C的右焦點重合，
∴橢圓的半焦距c=1．
設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
把點（1，

2

2

）代入可得：

1

a2

+

1

2b2

=1，又a²=b²+1，
解得a²=2，b²=1，
∴橢圓C的標準方程為

x2

2

+y2=1．
（II）（i）當直線l的斜率不存在時，可得A(1，

2

2

)，B(1，-

2

2

)，又T（2，0），
∴|

TA

+

TB

|=|(-1，

2

2

)+(-1，-

2

2

)|=|（-2，0）|=2．
（ii）當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-1），
聯立

y=kx-k x2+2y2=2

，化為（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

，
∵

TA

=（x₁-2，y₁），

TB

=(x2-2，y2)，
∴

TA

+

TB

=（x₁+x₂-4，y₁+y₂），
∴|

TA

+

TB

|2=(x1+x2-4)2+(y1+y2)2
=

16(1+k2)2

(1+2k2)2

+

4k2

(1+2k2)2

=4+

10

1+2k2

+

2

(1+2k2)2

，
令t=

1

1+2k2

，可知t∈（0，1]．
∴|

TA

+

TB

|2=2t²+10t+4=2(t+

5

2

)2-

17

2

∈（4，16]，
∴|

TA

+

TB

|∈（2，4]．
綜上可得：|

TA

+

TB

|∈[2，4]．

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題、向量的坐標運算及其數量積的性質、二次函數的單調性等基礎知識與基本技能方法，考查了換元法、分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．