Question

曲線C上的動點P是坐標(biāo)為（

3

cosθ，

2

sinθ）．
（1）求曲線C的普通方程，并指出曲線的類型及焦點坐標(biāo)；
（2）過點Q（2，1）作曲線C的兩條切線l₁、l₂，證明l₁⊥l₂．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出P的直角坐標(biāo)，消去θ即可得到曲線C的普通方程，并指出曲線的類型及焦點坐標(biāo)；
（2）設(shè)出過點Q（2，1）作曲線C的切線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用判別式為0，即可證明l₁⊥l₂．

解答： 解：（1）設(shè)P（x，y），由題意

x= 3 cosθ y= 2 sinθ

，消去θ，
可得：

x2

3

+

y2

2

=1------（2分）
焦點在x軸的橢圓------（4分）
焦點坐標(biāo)為（±1，0）------（6分）
（2）易知過Q的直線斜率不存在時與曲線C無交點，不相切；------（7分）
設(shè)過Q的直線l：y=k（x-2）+1
由

x2 3 + y2 2 =1 y=k(x-2)+1

得（2+3k²）x²-6k（2k-1）x+3（2k-1）²-6=0
若l與曲線C相切則△=36k²（2k-1）²-12（2+3k²）（（2k-1）²-2）=0
得k²-4k-1=0，則l₁，l₂的斜率為方程的兩根
有k₁•k₂=-1------（11分）
∴l(xiāng)₁⊥l₂------（12分）

點評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．