Question

已知向量

a

=(2sinx，sinx-cosx)，

b

=(cosx，

3

(cosx+sinx))，函數(shù)f(x)=

a

•

b

+1
（1）當x∈(

π

4

，

π

2

)時，求f（x）的最大值和最小值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)量積運算性質(zhì)、兩角和的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：（1）f（x）=sin2x-

3

cos2x+1=2(

1

2

sin2x-

3

2

cos2x)+1=2sin(2x-

π

3

)+1′．
∵

π

4

≤x≤

π

2

，∴

π

2

≤2x≤π，∴

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
∴

1

2

≤sin(2x-

π

3

)≤1，∴1≤2sin(2x-

π

3

)≤2，
于是2≤2sin(2x-

π

3

)+1≤3，
∴f（x）的最大值是3，最小值是2．
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z得2kπ-

π

6

≤2x≤2kπ+

5π

6

，k∈Z，
∴kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z，即f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z，
同理由2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z得
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈Z．

點評：本題考查了數(shù)量積運算性質(zhì)、兩角和的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．