Question

已知向量

a

=(

2

sinx

，

-1

sinx

)，

b

=(1，cos2x)且x∈(0，

π

2

]，
（Ⅰ）若

a

與

b

是兩個共線向量，求x的值；
（Ⅱ）若f(x)=

a

•

b

，求函數f（x）的最小值及相應的x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量共線的充要條件列出三角方程，求出cos2x的值，根據角的范圍求出角x．
（Ⅱ）利用向量的數量積求出函數f（x），利用二倍角公式化簡f（x），利用基本不等式求出函數的最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵

a

∥

b

∴

2cos2x

sinx

=-

1

sinx

，
又∵x∈(0，

π

2

]
∴sinx≠0，2x∈（0，π]
∴cos2x=-

1

2

即2x=

2π

3

∴x=

π

3

．
（Ⅱ）f(x)=

a

•

b

=

2-cos2x

sinx

=

1+2sin2x

sinx

=2sinx+

1

sinx

≥2

2

當且僅當2sinx=

1

sinx

即sinx=

2

2

時取到等號．
故函數f（x）的最小值為2

2

，此時x=

π

4

．

點評：本題考查向量共線的充要條件、解三角方程、向量的數量積公式、利用基本不等式求最值．