Question

已知向量

a

=(2sinx，cosx)，

b

=(cosx，2cosx)
（1）求f(x)=

a

•

b

，并求f（x）的單調遞增區間．
（2）若

c

=(2，1)，且

a

-

b

與

c

共線，x為第二象限角，求(

a

+

b

)•

c

的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積公式，幾何二倍角、輔助角公式化簡函數，利用正弦函數的性質，可得f（x）的單調遞增區間；
（2）利用向量共線的條件，x為第二象限角，求出sinx=

5

5

，cosx=-

2 5

5

，即可求得結論．

解答：解：（1）∵向量

a

=(2sinx，cosx)，

b

=(cosx，2cosx)
∴f(x)=2sinxcosx+2cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)+1
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，可得x∈[kπ-

3

8

π，kπ+

π

8

]
∴函數的增區間是[kπ-

3

8

π，kπ+

π

8

]（k∈Z）；
（2）∵

a

-

b

=(2sinx-cosx，-cosx)，(

a

-

b

)∥

c

∴2sinx-cosx=-2cosx
∴tanx=-

1

2

∵x為第二象限角，∴sinx=

5

5

，cosx=-

2 5

5

∴(

a

+

b

)•

c

=2(2sinx+cosx)+3cosx=-

5 5

6

點評：本題考查向量知識的運用，考查三角函數的化簡，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．