Question

（2005•東城區一模）已知向量

a

=(2sinx，cosx)，

b

=(

3

cosx，2cosx)，定義函數f(x)=

a

•

b

-1．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）求函數f（x）的單調減區間；
（3）畫出函數g(x)=f(x)，x∈[-

7π

12

，

5π

12

]的圖象，由圖象研究并寫出g（x）的對稱軸和對稱中心．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式和兩角和公式對函數的解析式進行化簡整理，然后利用周期公式求得函數的最小正周期；
（2）利用正弦函數的性質求得函數單調減時2x+

π

6

的范圍，進而求得x的范圍即函數的單調減區間；
（3）用五點法作出g（x）的圖象，結合圖象研究g（x）的對稱軸和對稱中心．

解答：解：f（x）=

a

•

b

-1=2

3

sinxcosx+2cos2x-1
=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)．…（5分）
（1）f（x）的最小正周期T=

2π

|ω|

=π．…（6分）
（2）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

?2kπ+

π

3

≤2x≤2kπ+

4π

3

?kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

（k∈Z）．
∴函數f（x）的單調減區間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）．…（9分）
（3）函數g(x)=f(x)，x∈[-

7π

12

，

5π

12

]的圖象如圖所示，

從圖象上可以直觀看出，此函數沒有對稱軸，有一個對稱中心．
∴對稱中心是（-

π

12

，0）…（14分）

點評：本題主要考查平面向量數量積的運算、二倍角公式和兩角和與差的公式的應用和正弦函數的基本性質，考查基礎知識的綜合應用，三角函數的公式比較多，平時一定要加強記憶，到運用時方能做到游刃有余．