Question

【題目】如圖，已知點在圓柱的底面圓上，為圓的直徑．

（1）若圓柱的體積為，，，求異面直線與所成的角（用反三角函數值表示結果）；

（2）若圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，四面體的外接球為球，求兩點在球上的球面距離．

Answer 1

【答案】（1）異面直線與所成的角為；（2）．

【解析】

（1）由題設條件，以O為原點，分別以OB，OO1為y，z軸的正向，并以AB的垂直平分線為x軸，建立空間直角坐標系，求出與的坐標，用公式求出線線角的余弦即得．

（2）由題意找到球心并求得R與∠AGB，即可求出A,B兩點在球G上的球面距離．

（1）以O為原點，分別以OB，OO1為y，z軸的正向，并以AB的垂直平分線為x軸，

建立空間直角坐標系．

由題意圓柱的體積為=4，解得AA1＝3．

易得各點的坐標分別為：A（0，﹣2，0），，A1（0，﹣2，3），B（0，2，0）．

得，，

設與的夾角為θ，異面直線A1B與AP所成的角為α，

則，得，

即異面直線A1B與AP所成角的大小為arccos．

（2）由題意得AA1＝2，OB=1，四面體的外接球球心在A1B的中點，所以R=,此時=，所以兩點在球上的球面距離為.