Question

【題目】已知橢圓：的左右焦點分別為,,,為橢圓上的兩動點，且以,,，四個點為頂點的凸四邊形的面積的最大值為．

（1）求橢圓的離心率；

（2）若橢圓經過點，且直線的斜率是直線，的斜率的等比中項，求面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由題得，化簡即得橢圓的離心率；（2）設直線的方程為，

聯立直線和橢圓方程得到韋達定理，由，得且．再求出，即得面積的取值范圍．

（1）由題，當位于橢圓的短軸端點時，凸四邊形的面積最大為，

所以，．

（2）由（1）可設橢圓的方程為，將點代入得橢圓．

由題意可知，直線的斜率存在且不為，故可設直線的方程為，

，滿足，消去得．

，

且，，．

因為直線，，的斜率依次成等比數列，所以，

即，又，所以，即．

由于直線，的斜率存在，且，得且．

設為點到直線的距離，

則

，

設，

所以的取值范圍為．