Question

已知函數f(x)＝lnx－ax²＋(2－a)x.
(1)討論f(x)的單調性；
(2)設a>0，證明：當0<x<時，f>f；
(3)若函數y＝f(x)的圖象與x軸交于A、B兩點，線段AB中點的橫坐標為x₀，證明：＜0.

Answer 1

（1）在上單調遞增，在上是減函數（2）見解析（3）見解析

(1)解：f(x)的定義域為(0，＋∞),
f′(x)＝－2ax＋(2－a)＝－.
①若a≤0，則f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數．
②若a>0，則由f′(x)＝0得x＝，且當x∈時，f′(x)>0，當x>時，f′(x)<0.所以f(x)在上單調遞增，在上是減函數.
(2)解：設函數g(x)＝f－f，
則g(x)＝ln(1＋ax)－ln(1－ax)－2ax，
g′(x)＝－2a＝.
當0<x<時，g′(x)>0，而g(0)＝0，所以g(x)>0.
故當0<x<時，f>f.
(3)證明：由(1)可得，當a≤0時，函數y＝f(x)的圖象與x軸至多有一個交點，
故a>0，從而f(x)的最大值為f，且f>0.
不妨設A(x₁，0)，B(x₂，0)，0<x₁<x₂，則0<x₁<<x₂.
由(2)得f＝f>f(x₁)＝0.
從而x₂>－x₁，于是x₀＝>.由(1)知，f′(x₀)<0