Question

若橢圓E₁：

x2

a 2 1

+

y2

b 2 1

=1和橢圓E₂：

x2

a 2 2

+

y2

b 2 2

=1滿足

a2

a1

=

b2

b1

=m

(m＞0)

，則稱這兩個橢圓相似，m稱為其相似比．
（1）求經過點(2，

6

)，且與橢圓

x2

4

+

y2

2

=1相似的橢圓方程；
（2）設過原點的一條射線l分別與（1）中的兩個橢圓交于A、B兩點（其中點A在線段OB上），
求|OA|+

1

|OB|

的最大值和最小值；
（3）對于真命題“過原點的一條射線分別與相似比為2的兩個橢圓C₁：

x2

22

+

y2

( 2 )2

=1和C₂：

x2

42

+

y2

(2 2 )2

=1交于A、B兩點，P為線段AB上的一點，若|OA|、|OP|、|OB|成等差數列，則點P的軌跡方程為

x2

32

+

y2

( 3 2 2 )2

=1”．請用推廣或類比的方法提出類似的一個真命題，并給予證明．

Answer 1

分析：（1）直接根據定義得到有

2 a = 2 b 4 a2 + 6 b2 =1

解得

a2=16 b2=8

即可得到與橢圓

x2

4

+

y2

2

=1相似的橢圓方程；
（2）先對射線與y軸重合時求出結論；再對射線不與坐標軸重合時，由橢圓的對稱性，僅考查A、B在第一象限的情形，聯立直線與兩個橢圓方程分別求出線段的長度，再結合函數的單調性即可求出|OA|+

1

|OB|

的最大值和最小值；（整理過程需小心避免出錯）．
（3）分析出命題的基本條件為：橢圓、a=2，b=

2

、m=2、等差，類比著寫：①雙曲線或拋物線； ②a，b或p； ③相似比為m；④等比，再加以證明即可．

解答：解：（1）設所求的橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，則有

2 a = 2 b 4 a2 + 6 b2 =1

解得

a2=16 b2=8

∴所要求的橢圓方程為

x2

16

+

y2

8

=1
（2）①當射線與y軸重合時，|OA|+

1

|OB|

=

2

+

1

2 2

=

5 2

4

②當射線不與坐標軸重合時，由橢圓的對稱性，我們僅考察A、B在第一象限的情形．
設其方程為y=kx（k≥0，x＞0），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=kx x2 4 + y2 2 =1

解得

x 2 1 = 4 1+2k2 y 2 1 = 4k2 1+2k2

|OA|=

2 k2+1

1+2k2

由

y=kx x2 16 + y2 8 =1

解得

x 2 1 = 16 1+2k2 y 2 1 = 16k2 1+2k2

，
∴|OB|=

4 k2+1

1+2k2

∴|OA|+

1

|OB|

=

2 k2+1

1+2k2

+

1+2k2

4 k2+1

令t=

2 k2+1

1+2k2

則由t=

2 k2+1

1+2k2

=

4k2+4 1+2k2

=

2+ 2 1+2k2

知

2

＜t≤2
∴|OA|+

1

|OB|

=t+

1

2t

記f(t)=t+

1

2t

，則f（t）在(

2

，2]上是增函數，∴f(

2

)＜f(t)≤f(2)，
∴

5

4

2

＜|OA|+

1

|OB|

≤

9

4

由①②知，|OA|+

1

|OB|

的最大值為

9

4

，|OA|+

1

|OB|

的最小值為

5 2

4

．
（3）本題根據學生提出和解決問題的質量評分
命題結構：條件?結論
條件由四部分組成：

其中基本條件為：橢圓、a=2，b=

2

、m=2、等差，
得分條件為：①雙曲線或拋物線； ②a，b或p； ③相似比為m；④等比．
例1：①雙曲線+②a，b+③相似比為m+等差
過原點的一條射線分別與兩條雙曲線C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1和C₂：

x2

(ma)2

-

y2

(mb)2

=1（m＞0）交于A、B兩點，P為線段AB上的一點，若|OA|、|OP|、|OB|成等差數列，則點P的軌跡方程為

x2

( 1+m 2 a)2

-

y2

( 1+m 2 b)2

=1
證明：∵射線l與雙曲線有交點，不妨設其斜率為k，顯然|k|＜

b

a

．
設射線l的方程為y=kx，設點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、p（x，y）
由

y=kx x2 a2 - y2 b2 =1

解得  x1=

ab

b2-a2k2

，
由

y=kx x2 (ma)2 - y2 (mb)2 =1

解得  x2=

mab

b2-a2k2

由P點在射線l上，且2|OP|=|OA|+|OB|得

x= x1+x2 2 y=kx

即

x= ab(1+m) 2 b2-a2k2 k= y x

得

x2

( 1+m 2 a)2

-

y2

( 1+m 2 b)2

=1
例2：①拋物線+②p+③相似比為m+等差
過原點的一條射線分別與兩條拋物線C₁：y²=2px（p＞0）和C₂：y²=2mpx（m＞0）相交于異于原點的A、B兩點，P為線段AB上的一點，若|OA|、|OP|、|OB|成等差數列，則點P的軌跡方程為y²=（1+m）px
證明：∵射線l與拋物線有異于原點的交點，不妨設其斜率為k．
設射線l的方程為y=kx，設點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、p（x，y）
由

y=kx y2=2px

解得  x1=

2p

k2

，
由

y=kx y2=2mpx

解得  x2=

2mp

k2

由P點在射線l上，且2|OP|=|OA|+|OB|得

x= x1+x2 2 y=kx

即

x= 2p(1+m) k2 k= y x

得 y²=（1+m）px

點評：本題綜合考查直線和橢圓的位置關系，難度較大，解題時要仔細審題，注意公式的靈活運用．