Question

已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的長軸長為2

2

，離心率為e1=

2

2

，橢圓C₂與C₁有共同的短軸．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）若C₂與直線l：x-y+2=0有兩個不同的交點，求橢圓的離心率e₂的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）由題意，

a= 2 c a = 2 2

，（2分）
所以c=1，b=1，（4分）
所以C₁的方程為：C1：

x2

2

+y2=1（6分）
（Ⅱ）橢圓C₂與C₁有共同的短軸，所以設(shè)C₂的方程為

x2

m

+y2=1(m＞1)，（8分）
聯(lián)立方程：

y=x+2 x2 m +y2=1

得，(1+m)x2+4mx+3m=0，

△=4(m2-3m)＞0 m＞1

，（10分）
（沒寫m＞1的，扣1分）
所以m＞3，（12分）
而e2=

m-1 m

=

1- 1 m

，（13分）
所以e2=

1- 1 m

∈(

6

3

，1)．（14分）