Question

如圖，已知橢圓E₁方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，圓E₂方程為x²+y²=a²，過橢圓的左頂點A作斜率為k₁直線l₁與橢圓E₁和圓E₂分別相交于B、C． 
（Ⅰ）若k₁=1時，B恰好為線段AC的中點，試求橢圓E₁的離心率e；
（Ⅱ）若橢圓E₁的離心率e=

1

2

，F₂為橢圓的右焦點，當|BA|+|BF₂|=2a時，求k₁的值；
（Ⅲ）設D為圓E₂上不同于A的一點，直線AD的斜率為k₂，當

k1

k2

=

b2

a2

時，試問直線BD是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）當k₁=1時，點C在y軸上，且C（0，a），利用中點坐標公式即可得出點B的坐標，再代入橢圓的方程即可得到a，b的關系，再利用斜率計算公式e=

c

a

=

1- b2 a2

即可得出；
（II）設橢圓的作焦點為F₁，由橢圓的定義可知：|BF₁|+|BF₂|=2a，即已知|BA|+|BF₂|=2a，即可得出|BF₁|=|BA|，則點B在線段AF₁的垂直平分線上，可得點B的橫坐標，再利用斜率計算公式得到b，a的關系，把點B的橫坐標代入橢圓的方程即可得到縱坐標，再利用斜率計算公式即可得出k₁．
（III）直線BD過定點（a，0）．設P（a，0），B（x_B，y_B），則點B的坐標滿足橢圓方程．利用斜率計算公式可得k_AD•k_PB=

a2

b2

k1kPB=

a2

b2

•

yB

xB+a

•

yB

xB-a

，只要證明k_AD•k_PB=-1，而PD⊥AD，即可得到三點P，B，D共線，即直線BD過定點P（a，0）．

解答：解：（I）當k₁=1時，點C在y軸上，且C（0，a），則B(-

a

2

，

a

2

)，
由點B在橢圓上，得

(- a 2 )2

a2

+

( a 2 )2

b2

=1，化為

b2

a2

=

1

3

，
∴e=

c

a

=

1- b2 a2

=

6

3

．
（II）設橢圓的作焦點為F₁，由橢圓的定義可知：|BF₁|+|BF₂|=2a，又|BA|+|BF₂|=2a，
∴|BF₁|=|BA|，則點B在線段AF₁的垂直平分線上，
∴xB=-

a+c

2

，
又e=

c

a

=

1

2

，∴c=

1

2

a，b=

3

2

a，
∴xB=-

3

4

a，代入橢圓方程得yB=±

7

4

b=±

21

8

a，
∴k1=

yB

xB+a

=±

21

2

．
（III）直線BD過定點（a，0），證明如下：
設P（a，0），B（x_B，y_B），則

x 2 B

a2

+

y 2 B

b2

=1（a＞b＞0）．
則k_AD•k_PB=

a2

b2

k1kPB=

a2

b2

•

yB

xB+a

•

yB

xB-a

=

a2

b2

•

y 2 B

x 2 B -a2

=

a2

b2

×(-

b2

a2

)=-1．
∴PB⊥AD，又PD⊥AD，
∴三點P，B，D共線，即直線BD過定點P（a，0）．

點評：本題綜合考查了橢圓的定義、標準方程及其性質、中點坐標公式、線段的垂直平分線、圓的性質、相互垂直的直線的斜率關系、三點共線等基礎知識與基本技能，考查了分析問題和解決問題的能力、推理能力、計算能力．