Question

在平面直角坐標系xoy（O為坐標原點）中，橢圓E₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點在圓E₂：x²+y²=a+b上，且橢圓的離心率是

3

2

．
（Ⅰ）求橢圓E₁和圓E₂的方程；
（Ⅱ）是否存在經過圓E₂上的一點P（x₀，y₀）的直線l，使l與圓E₂相切，與橢圓E₁有兩個不同的交點A、B，且

OA

•

OB

=3？若存在，求出點P的橫坐標x₀的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據橢圓的兩個焦點在圓E₂：x²+y²=a+b上，且橢圓的離心率是

3

2

，建立方程，即可求得橢圓E₁和圓E₂的方程；
（Ⅱ）假設滿足條件的直線l存在，由l于為x²+y²=3相切于點P（x₀，y₀），可得直線l的方程為x₀x+y₀y=3，分類討論，利用

OA

•

OB

=3，即可得到結論．

解答：解：（Ⅰ）由題意，a²-b²=a+b，

a2-b2

a

=

3

2

∴a=2，b=1
∴橢圓E₁的方程為

x2

4

+y2=1，圓E₂的方程為x²+y²=3；
（Ⅱ）假設滿足條件的直線l存在，由l于為x²+y²=3相切于點P（x₀，y₀），可得直線l的方程為x₀x+y₀y=3
當y₀=0時，

OA

•

OB

=

11

4

≠3，不合題意；
當y₀≠0時，與橢圓方程聯立，結合x₀²+y₀²=3，可得3（1+

x

2 0

）x²-24x₀x+4

x

2 0

+24=0
∵(-24x0)2-12（1+

x

2 0

）（4

x

2 0

+24）＞0
∴2＜

x

2 0

＜3
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

8x0

1 +x 2 0

，x₁x₂=

24+4x02

3(1 +x 2 0 )

∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

11

1 +x 2 0

∵

OA

•

OB

=3，∴

11

1 +x 2 0

=3
∴

x

2 0

=

8

3

∵2＜

x

2 0

＜3，
∴存在直線l，此時點P的橫坐標為x₀=±

2 6

3

．

點評：本題考查橢圓與圓的標準方程，考查直線與圓、橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，正確運用韋達定理是關鍵．