Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=x2+2ax﹣a﹣1，x∈[0，2]，a為常數(shù)．
（1）用g（x）表示f（x）的最小值，求g（a）的解析式；
（2）在（1）中，是否存在最小的整數(shù)m，使得g（a）﹣m≤0對(duì)于任意a∈R均成立，若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：對(duì)稱軸 x=﹣a，

①當(dāng)﹣a＜0即a＞0 時(shí)，函數(shù)f（x）=x2+2ax﹣a﹣1，x∈[0，2]上是增函數(shù)，

當(dāng)x=0 時(shí)有最小值 f（0）=﹣a﹣1

②當(dāng)﹣a≥2即a≤﹣2 時(shí)，函數(shù)f（x）=x2+2ax﹣a﹣1，x∈[0，2]上是減函數(shù)，

x=2時(shí)有最小值，f（2）=3a+3

③當(dāng)0＜﹣a＜2即﹣2＜a＜0 時(shí)，函數(shù)f（x）=x2+2ax﹣a﹣1，x∈[0，2]上是不單調(diào)，

x=﹣a時(shí)有最小值 f（﹣a）=﹣a2﹣a﹣1

∴g（a）=

（2）解：存在，由題知g（a）在（﹣∞， ）是增函數(shù)，在[ ，+∞）是減函數(shù)

a= 時(shí)，g（a）max=﹣

g（a）﹣m≤0恒成立，可得g（a）max≤m，∴

∵m為整數(shù)，∴m的最小值為0

【解析】（1）先根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸對(duì)a進(jìn)行分類討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求得g（a）的解析式；（2）根據(jù)（1）中g(shù)（a）的解析式判斷其單調(diào)區(qū)間，再求得g（a）的最大值，由g（a）﹣m≤0恒成立，可得g（a）max≤m即可求得整數(shù)m的最小值.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解二次函數(shù)的性質(zhì)(增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小)．