Question

【題目】若存在不為零的常數，使得函數對定義域內的任一均有，則稱函數為周期函數，其中常數就是函數的一個周期．

（Ⅰ）證明：若存在不為零的常數使得函數對定義域內的任一均有，則此函數是周期函數；

（Ⅱ）若定義在上的奇函數滿足，試探究此函數在區間內的零點的最少個數．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）4035個.

【解析】

試題（Ⅰ）由于存在不為零的常數a使得函數y=f（x）對定義域內的任一x均有，可得f（x+2a）=-f（x+a）=f（x），即可得出此函數是周期．
（Ⅱ）由于定義在R上的奇函數y=f（x）滿足f（x+1）=-f（x），可得f（x+2）=-f（x+1）=f（x），于是函數f（x）是以2為周期的周期函數．由于f（0）=0，可得，即可得出此函數在區間內的零點的最少個數．

試題解析：

（Ⅰ）證明：因為存在不為零的常數使得函數對定義域內的任一均有，所以有：

即有：,

因此，函數是周期函數，且就是函數的一個周期.

（Ⅱ）解：因為定義在上的函數滿足，

由⑴可知：函數是周期函數，且就是函數的一個周期,

即有

又因為函數是上的奇函數，所以。

且，所以 ……①

又，所以，

同理有： ……②

由①②有： 。又，

所以此函數在區間內的零點最少有個.