Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=AA1=2，AB=BC=2 ，∠AA1C1=60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1與A1C相交于點D．

（1）求證：BC1⊥平面AA1C1C；
（2）求二面角C1﹣AB﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=AA1=2，AB=BC=2 ，∠AA1C1=60°，

∵AC=AA1，∴AA1=A1C1，

∵∠AA1C1=60°，∴△AA1C1為等腰三角形，

同理△ABC1是等腰三角形，

∵D為AC1的中點，∴BD⊥AC1，

∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，所以過B作平面AA1C1C的垂線，垂足在AC1上，

三角形ABC是等腰三角形，取AC的中點E，連結CE，EB，可知BE⊥AC，C1E⊥AC，所以AC⊥平面BEC1，

過B作平面AA1C1C的垂線，垂足在EC1上，可得垂足是C1．

∴BC1⊥平面AA1C1C

（2）解：由（1）可得C1B=2，以點D為坐標原點，DA、DC、DM分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，M為AB的中點，A（1，0，0）；B（﹣1，0，2）C（0， ，0），D（0，0，0），

平面ABC1的一個法向量為 =（0，1，0），設平面ABC的法向量為 =（x，y，z），

由題意可得 =（﹣1， ，0）， =（﹣2，0，2），則 ，

所以平面ABC的一個法向量為 =（ ，1， ），

∴cosθ= = =

即二面角C1﹣AB﹣C的余弦值等于 ．

【解析】（1）說明過B作平面AA1C1C的垂線，垂足在AC1上，取AC的中點E，連結CE，EB，說明過B作平面AA1C1C的垂線，垂足在EC1上，推出垂足是C1 ． 然后證明結論．（2）以點D為坐標原點，DA、DC、DM分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，分別求出平面ABC1與平面ABC的法向量，從而可算出二面角C1﹣AB﹣C的余弦值．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面垂直的判定，需要了解一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想才能得出正確答案．