Question

己知函數f（x）=2sinωx•cosωx+2bcos²ωx-b（其中b＞0，ω＞0）的最大值為2，直線x=x₁，x=x₂是y=f（x） 圖象的任意兩條對稱軸，且|x₁-x₂|的最小值為

π

2

．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調增區間；
（Ⅱ）若f（a）=

2

3

，求sin（

5π

6

-4a）的值；
（Ⅲ）對?a∈R，在區間（a，a+s]上y=f（x）有且只有4個零點，請直接寫出滿足條件的所有S的值并把上述結論推廣到一般情況．（不要求證明）

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,函數的零點與方程根的關系,正弦函數的對稱性

專題：歸納猜想型,函數的性質及應用,三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）先化簡函數f（x）根據已知求出b的值，從而確定函數f（x）的解析式進而可得單調增區間；
（Ⅱ）若f（a）=

2

3

，可求得sin（2a+

π

3

）=

1

3

，從而可求sin（

5π

6

-4a）的值；
（Ⅲ）由三角函數的圖象與性質和已知即可得出結論．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sin2ωx+bcos2ωx=

1+b2

sin（2ωx+φ）
T=2×

π

2

=π
T=

2π

2ω

=

π

ω

，所以ω=1
解

1+b2

=2得b=±

3

，
因為b＞0，所以b=

3

，故f（x）=2sin（2x+

π

3

）
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z得：kπ-

5π

12

≤x≤

π

12

+kπ，k∉Z
所以函數f（x）的單調增區間為[kπ-

5π

12

，

π

12

+kπ]，k∉Z
（Ⅱ）由f（a）=

2

3

得sin（2a+

π

3

）=

1

3

sin（

5π

6

-4a）=sin[

3π

2

-2（2a+

π

3

）]=-cos[2（2a+

π

3

）]
=2sin2(2a+

π

3

)-1
=-

7

9

．
（Ⅲ）s=2π 
推廣：對?a∈R，在區間（a，a+s]上y=f（x）有且只有n（n∈N^*）個零點，則s的值為

nπ

2

．
若寫：對?a∈R，在區間（a，a+s]上y=f（x）有且只有2n（n∈N^*）個零點，則s的值為nπ．

點評：本題主要考察了三角函數的圖象與性質，函數的零點與方程根的關系，正弦函數的對稱性，屬于中檔題．