Question

【題目】已知a∈R，函數f（x）=log2（ +a）．
（1）當a=5時，解不等式f（x）＞0；
（2）若關于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一個元素，求a的取值范圍．
（3）設a＞0，若對任意t∈[ ，1]，函數f（x）在區間[t，t+1]上的最大值與最小值的差不超過1，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=5時，f（x）=log2（ +5），

由f（x）＞0；得log2（ +5）＞0，

即 +5＞1，則 ＞﹣4，則 +4= ＞0，即x＞0或x＜﹣ ，

即不等式的解集為{x|x＞0或x＜﹣ }．

（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0得log2（ +a）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0．

即log2（ +a）=log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，

即 +a=（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①

則（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，

即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]=0，②，

當a=4時，方程②的解為x=﹣1，代入①，成立

當a=3時，方程②的解為x=﹣1，代入①，成立

當a≠4且a≠3時，方程②的解為x=﹣1或x= ，

若x=﹣1是方程①的解，則 +a=a﹣1＞0，即a＞1，

若x= 是方程①的解，則 +a=2a﹣4＞0，即a＞2，

則要使方程①有且僅有一個解，則1＜a≤2．

綜上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一個元素，則a的取值范圍是1＜a≤2，或a=3或a=4．

（3）函數f（x）在區間[t，t+1]上單調遞減，

由題意得f（t）﹣f（t+1）≤1，

即log2（ +a）﹣log2（ +a）≤1，

即 +a≤2（ +a），即a≥ ﹣ =

設1﹣t=r，則0≤r≤ ，

= = ，

當r=0時， =0，

當0＜r≤ 時， = ，

∵y=r+ 在（0， ）上遞減，

∴r+ ≥ = ，

∴ = = ，

∴實數a的取值范圍是a≥ ．

【解析】（1）當a=5時，f（x）=log2（ +5）＞0，即為 +5＞1，解分式不等式即可，（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0得log2（ +a）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0．即log2（ +a）=log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，討論a的取值范圍進行求解即可，（3）利用函數f（x）的單調性，可得f（t）﹣f（t+1）≤1，利用換元法進行轉化，結合對勾函數的單調性進行求解即可.
【考點精析】本題主要考查了函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．