Question

【題目】下圖是某市11月1日至14日的空氣質量指數趨勢圖，空氣質量指數(AQI)小于100表示空氣質量優良，空氣質量指數大于200表示空氣重度污染，某人隨機選擇11月1日至11月12日中的某一天到達該市，并停留3天．

(1)求此人到達當日空氣重度污染的概率；

(2)設X是此人停留期間空氣重度污染的天數，求X的分布列與數學期望．

Answer 1

【答案】(1)(2)見解析

【解析】試題分析：（1）設Ai表示事件“此人于2月i日到達該市”依題意知p（Ai）=，設B為事件“此人到達當日空氣質量重度污染”，則B=A1∪A2∪A3∪A7∪A12，由此能求出此人到達當日空氣質量重度污染的概率；

（2）由題意可知，ξ的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和ξ的期望．

試題解析：

解：設Ai表示事件“此人于11月i日到達該市”(i＝1，2，…，12)．

依題意知，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝(i≠j)．

(1)設B為事件“此人到達當日空氣重度污染”，

則B＝A1∪A2∪A3∪A7∪A12，

所以P(B)＝P(A1∪A2∪A3∪A7∪A12)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A7)＋P(A12)＝.

即此人到達當日空氣重度污染的概率為.

(2)由題意可知，X的所有可能取值為0,1,2,3，

P(X＝0)＝P(A4∪A8∪A9)＝P(A4)＋P(A8)＋P(A9)＝＝，

P(X＝2)＝P(A2∪A11)＝P(A2)＋P(A11)＝＝，

P(X＝3)＝P(A1∪A12)＝P(A1)＋P(A12)＝＝，

P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)－P(X＝3)＝1－－－＝，

或P(X＝1)＝P(A3∪A5∪A6∪A7∪A10)＝P(A3)＋P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A10)＝

所以X的分布列為：

故X的數學期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.