Question

.(本小題滿分12分）
如圖，在四棱錐P－ABCD中,底面為正方形，PA丄平面ABCD,且PA=AD,E為棱PC上的一點,PD丄平面
(I)求證:E為PC的中點；
(II)若N為CD的中點，M為AB上的動點，當直線MN與平面ABE所成的角最大時,求二面角的大小.

Answer 1

解：（Ⅰ）過作交于,由


可知
四點共面，…………………2分
又因為
∴,
∵
∴在中，,………………………4分
∴可得E為PC的中點．……………………6分
（Ⅱ）連結
連結，則為直線MN與平面ABE所成的角．
在中，
∴最小時，最大，此時．
所以M為AB中點，……………………………9分
則．
由，
可知

設，
.……………12分
法二（Ⅰ）建立如圖所示空間直角坐標系,不妨設,則，.………………2分
設,
，…………………4分
因為  , ，
，
即,.……………………6分
（Ⅱ）設，,
由（Ⅰ）知面的法向量為，
設MN與面ABE所成角為,

當t=時，最大，此時M為AB中點,…………………9分
平面NEM的法向量為 設平面CEM的法向量為
   而
    令
，
.……………………12分

略