Question

．（本小題滿分12分）如圖，在正方體中，
、分別為棱、的中點．
（1）求證：∥平面；
（2）求證：平面⊥平面；
（3）如果，一個動點從點出發在正方體的
表面上依次經過棱、、、、上的點，最終又回到點，指出整個路線長度的最小值并說明理由.

Answer 1

（1）證明:連結.

在正方體中，對角線.
又 E、F為棱AD、AB的中點，
.
.                                                      …………2分
又B₁D₁平面，平面，
  EF∥平面CB₁D₁.                                                …………4分
（2）證明: 在正方體中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
而B₁D₁平面A₁B₁C₁D₁，
 AA₁⊥B₁D₁.
又在正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，
 B₁D₁⊥平面CAA₁C₁.                  …………6分
又 B₁D₁平面CB₁D₁，
平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．             …………8分
（3）最小值為 .                    …………9分
如圖，將正方體六個面展開成平面圖形，                             …………10分
從圖中F到F，兩點之間線段最短，而且依次經過棱BB₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁D、DA上的中點，所求的最小值為 .                                            …………12分.

略