Question

數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=20-3n．
（1）證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）求{|a_n|}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)數(shù)列的通項公式結(jié)合等差數(shù)列的定義證明；
（2）求出等差數(shù)列的前6項大于0，自第7項后小于0，當(dāng)n≤6時數(shù)列{|a_n|}的前n項和即為等差數(shù)列{a_n}的前n項和，當(dāng)n＞6時由等差數(shù)列{a_n}的前n項和的負(fù)值加上2倍等差數(shù)列的前6項和得答案．

解答： （1）證明：∵a_n=20-3n，
∴a_n+1=20-3（n+1），
則a_n+1-a_n=20-3（n+1）-20+3n=-3為常數(shù)．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）由a_n=20-3n＞0，得n＜

20

3

，
由n∈N^*，得n=1，2，3，4，5，6．
∴數(shù)列{a_n}的前6項大于0，自第7項后小于0．
又a₁=17，d=-3．
則當(dāng)n≤6時，{|a_n|}的前n項和T_n=na1+

n(n-1)d

2

=17n-

3n(n-1)

2

=-

3n2

2

+

37n

2

；
當(dāng)n＞6時，{|a_n|}的前n項和T_n=-(-

3n2

2

+

37n

2

)+2S6
=

3n2

2

-

37n

2

+2×(6×17-

6×5×3

2

)=

3n2

2

-

37n

2

+114．
∴T_n=

- 3n2 2 + 37n 2 ，n≤6 3n2 2 - 37n 2 +114，n＞6

．

點評：本題考查了等差關(guān)系的確定，考查了數(shù)列前n項和的求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．