Question

已知函數f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在區間[-

π

6

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,三角函數的周期性及其求法,正弦函數的定義域和值域

專題：常規題型,三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）先逆用二倍角公式，然后逆用兩角和的正弦公式化成正弦型函數的標準形式，利用周期公式T=

2π

|ω|

求周期；
（Ⅱ）根據正弦函數的最值結合定義域求函數y=2sin（2x+

π

6

）最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1
=

3

sin2x+cos2x
=2sin（2x+

π

6

）
∴T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）∵x∈[-

π

6

，

π

4

]，∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]
∴-1≤2sin（2x+

π

6

）≤2
∴函數f（x）在區間[-

π

6

，

π

4

]上的最小值為-1，最大值為2．

點評：本題考查了三角變換及三角函數的圖象與性質，解題的關鍵是化成正弦型函數的標準形式．