Question

【題目】已知橢圓E：（），它的上，下頂點分別為A，B，左，右焦點分別為，，若四邊形為正方形，且面積為2.

（Ⅰ）求橢圓E的標準方程；

（Ⅱ）設存在斜率不為零且平行的兩條直線，，它們與橢圓E分別交于點C，D，M，N，且四邊形是菱形，求出該菱形周長的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由題意可得，解出即可；

（Ⅱ）設的方程為，的方程為，聯立直線與橢圓方程并消元得韋達定理的結論，根據弦長公式可求得，，由四邊形為菱形可得，可得，再根據基本不等式即可求出最值．

解：（Ⅰ）∵四邊形為正方形，且面積為2，

∴，

解得，

∴橢圓的標準方程；

（Ⅱ）設的方程為，，，

設的方程為，，，

聯立可得，

由可得，化簡可得，①

，，

，

同理可得，

∵四邊形為菱形，∴，∴，

又∵，∴，

∴，關于原點對稱，又橢圓關于原點對稱，

∴關于原點對稱，也關于原點對稱，

∴且，

∴，，

∵四邊形為菱形，可得，

即，即，

即，

可得，

化簡可得，

∴菱形的周長為

，

當且僅當，即時等號成立，

此時，滿足①，

∴菱形的周長的最大值為．