Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中為常數(shù)．

（1）證明： ；

（2）是否存在，使得為等差數(shù)列？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（I）對于含遞推式的處理，往往可轉(zhuǎn)換為關(guān)于項(xiàng)的遞推式或關(guān)于的遞推式．結(jié)合結(jié)論，該題需要轉(zhuǎn)換為項(xiàng)的遞推式．故由得．兩式相減得結(jié)論；（II）對于存在性問題，可先探求參數(shù)的值再證明．本題由， ， ，列方程得，從而求出．得，故數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為公差為4的等差數(shù)列．分別求通項(xiàng)公式，進(jìn)而求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再證明等差數(shù)列．

試題解析：（I）由題設(shè)， ， ．兩式相減得， ．

由于，所以．

（II）由題設(shè)， ， ，可得，由（I）知， ．令，解得．

故，由此可得， 是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列， ；

是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列， ．

所以， ．

因此存在，使得為等差數(shù)列．