Question

已知函數f（x）=cos2x-

3

sin2x，x∈R．
（1）求函數f（x）的單調遞減區間；
（2）設θ∈（

π

3

，

7π

12

），且f（θ）=-

4

3

，求cos2θ．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,二倍角的余弦

專題：三角函數的求值

分析：（1）由和差角公式化簡可得f（x）=2cos（2x+

π

3

），整體法令2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ+π，解不等式可得；（2）可得cos（2θ+

π

3

）=-

2

3

，進而可得sin（2θ+

π

3

），而cos2θ=cos[（2θ+

π

3

）-

π

3

]=

1

2

cos（2θ+

π

3

）+

3

2

sin（2θ+

π

3

），代入計算可得．

解答： 解：（1）∵f（x）=cos2x-

3

sin2x
=2（

1

2

cos2x-

3

2

sin2x）
=2cos（2x+

π

3

），
令2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ+π，
解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z，
∴函數f（x）的單調遞減區間為[kπ-

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z；
（2）由（1）可得f（θ）=2cos（2θ+

π

3

）=-

4

3

，
解得cos（2θ+

π

3

）=-

2

3

，
∵θ∈（

π

3

，

7π

12

），∴2θ+

π

3

∈（π，

3π

2

），
∴sin（2θ+

π

3

）=-

1-cos2(2θ+ π 3 )

=-

5

3

，
∴cos2θ=cos[（2θ+

π

3

）-

π

3

]=

1

2

cos（2θ+

π

3

）+

3

2

sin（2θ+

π

3

）
=

1

2

×(-

2

3

)+

3

2

×(-

5

3

)=-

2+ 15

6

點評：本題考查三角函數公式，涉及三角函數的單調性以及同角三角函數的基本關系，屬中檔題．