Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的部分圖象如圖所示．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若f（α+

π

3

）=

10

5

，且α∈（0，π），求tanα的值．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,兩角和與差的正弦函數

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）由函數圖象直接得到A和四分之一周期，進一步得到周期，由周期公式求得ω，再由(

π

3

，2)在函數圖象上代入求解φ的值，則函數解析式可求；
（2）把f（α+

π

3

）=

10

5

代入（1）中求得的函數解析式，求出cos

α

2

的值，由倍角公式求出cosα，結合α的范圍進一步求得sinα，則tanα的值可求．

解答： 解：（1）由圖可知：A=2．
∵

T

4

=

4π

3

-

π

3

=π，
∴T=4π．
∵ω＞0，
∴ω=

2π

T

=

2π

4π

=

1

2

．
∵圖象過點(

π

3

，2)，
則2=2sin(

1

2

×

π

3

+φ)，
即sin(

π

6

+φ)=1．
∵0＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

3

．
故f(x)=2sin(

1

2

x+

π

3

)；
（2）由f(α+

π

3

)=

10

5

，得2sin[

1

2

(α+

π

3

)+

π

3

]=

10

5

，
∴sin(

1

2

α+

π

2

)=

10

10

，
∴cos

α

2

=

10

10

，
∴cosα=2cos2

α

2

-1=-

4

5

，
∵α∈（0，π），
∴sinα=

1-cos2α

=

3

5

，
∴tanα=

sinα

cosα

=-

3

4

．

點評：本題考查利用y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求函數解析式，考查了三角函數值得求法，是中檔題．