Question

已知奇函數f（x）=

-2x+a

2x+1+b

（a，b∈R）． 
（1）求a與b的值；
（2）求函數f（x）的值域．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）針對0∈D和若0∉D兩種情形進行討論，利用奇函數這個條件建立關系式，求解相應的值；
（2）直接利用指數函數的值域情形進行求解．

解答： 解：（1）設函數f（x）的定義域為D，
①若0∈D，因為函數f（x）為奇函數，
∴f（0）=0，a=1，f（1）=-

1

4+b

，f（-1）=

1

2+2b

，
∵f（1）+f（-1）=0，
∴b=2，
②若0∉D，因為函數f（x）為奇函數，
根據（1），b=-2，
∵f（1）+f（-1）=0，
∴a=-1，
∴

a=1 b=2

或

a=-1 b=-2

（2）若a=1，b=2，
∴f（x）=

-2x+1

2x+1+2

，
∴2f（x）=

-2x+1

2x+1

=-1+

2

1+2x

，
∵1+2^x∈（1，+∞），
∴

2

1+2x

∈（0，2），
∴f（x）∈（-

1

2

，

1

2

）．
若a=-1，b=-2，
∵f（x）=

-2x-1

2x+1-2

，2f（x）=

-2x-1

2x-1

=-1-

2

2x-1

，
∴f（x）∈（-∞，

1

2

）∪（

1

2

，+∞）．
綜上，若a=1，b=2，函數f（x）的值域（-

1

2

，

1

2

）．
若a=-1，b=-2，函數f（x）的值域（-∞，

1

2

）∪（

1

2

，+∞）．

點評：本題綜合考查了函數的性質、函數的單調性與值域、指數函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．