Question

已知函數f（x）=

x2+2x+a，x＜0 lnx，x＞0

，其中a是實數．設A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））為該函數圖象上的兩點，且x₁＜x₂，若函數f（x）的圖象在點A，B處的切線重合，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：先根據導數的幾何意義寫出函數f（x）在點A、B處的切線方程，再利用兩直線重合的充要條件列出關系式，從而得出a=lnx₂+（

1

2x2

-1）²-1，最后利用導數研究它的單調性和最值，即可得出a的取值范圍．

解答： 解：當x₁＜x₂＜0，或0＜x₁＜x₂時，f′（x₁）≠f′（x₂），故x₁＜0＜x₂，
當x₁＜0時，函數f（x）在點A（x₁，f（x₁））處的切線方程為y-（x₁²+2x₁+a）=（2x₁+2）（x-x₁）；
當x₂＞0時，函數f（x）在點B（x₂，f（x₂））處的切線方程為y-lnx₂=

1

x2

（x-x₂）；
兩直線重合的充要條件是

1

x2

=2x₁+2①，lnx₂-1=-x₁²+a②，
由①及x₁＜0＜x₂得0＜

1

x2

＜2，由①②得a=lnx₂+（

1

2x2

-1）²-1=-ln

1

x2

+

1

4

（

1

x2

-2）²-1，
令t=

1

x2

，則0＜t＜2，且a=

1

4

t²-t-lnt，設h（t）=

1

4

t²-t-lnt，（0＜t＜2）
則h′（t）=

1

2

t-1-

1

t

=

(t-1)2-3

2t

＜0，∴h（t）在（0，2）為減函數，
則h（t）＞h（2）=-ln2-1，∴a＞-ln2-1，
∴若函數f（x）的圖象在點A，B處的切線重合，a的取值范圍（-ln2-1，+∞）．
故答案為：（-ln2-1，+∞）．

點評：本題主要考查了導數的幾何意義等基礎知識，考查了推理論證能力、運算能力、創新意識，考查了函數與方程、分類與整合、轉化與化歸等思想方法．