Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABCD為平行四邊形，平面PAB,,.M為PB的中點.

（1）求證：PD//平面AMC；

（2）求銳二面角B-AC-M的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明過程詳見解析;（2）.

【解析】

試題

（1）連接，設與相交于點，連接，要證明線面平行，只需要在面AMC中找到一條直線OM與PD平行即可，該問考慮構造三角形的中位線來證明，來證明線面平行，即OM為三角形PBD是邊PD的中位線，線線平行就可以得到線面平行.

（2）求二面角的關鍵是找到二面角的平面角，根據角BPA為30度且AB為PB的一半利用三角形正弦定理即可證明三角形ABP是以角PAB為直角的直角三角形，即可以得到PA與AB垂直，由BC與面PAB垂直可以得到BC與PA垂直，進而有PA垂直于面ABCD中的兩條相交的線段，則有PA垂直與底面ABCD.為作出得到二面角的平面角，作，垂足為，連接，，則有MF為三角形PAB的中位線，得到MF也垂直于底面，即PA與AC垂直，又AC與GF垂直，則有角MGF就是所求二面角的平面角，利用中位線求出MF，利用勾股定理求出GF長度，得到二面角的平面角MGF的三角函數值，就得到求出二面角的角度.

試題解析：

（1）證明：連接，設與相交于點，連接，

∵四邊形是平行四邊形，∴點為的中點．

∵為的中點，∴為的中位線，

∴//.

∵，

∴//．

（2）不妨設則.

在中,,

得,則.

∵平面PAB, 故 PA

且,∴.

取AB的中點，連接，則//，且．

∴．平面,.

作，垂足為，連接，，

∴，∴．

∴為二面角的平面角．

在中,,得.

在中，.

∴二面角的余弦值為．