Question

【題目】已知函數f（x）=1﹣ 是奇函數．
（1）求a的值；
（2）證明f（x）是R上的增函數．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）=1﹣ 是奇函數，

∴f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，

即1﹣ =﹣1+ ，

即 + = =a=2

（2）證明：由（1）得：函數f（x）=1﹣ ，

故f′（x）= ，

∵f′（x）＞0恒成立，

∴f（x）是R上的增函數．

【解析】（1）若函數f（x）=1﹣ 是奇函數，則f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，進而可得滿足條件的a的值；（2）由（1）可得f（x）=1﹣ ，故f′（x）= ，由f′（x）＞0恒成立，可得：f（x）是R上的增函數．
【考點精析】關于本題考查的函數單調性的判斷方法和函數奇偶性的性質，需要了解單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能得出正確答案．