Question

（本小題滿分12分）
設橢圓：的焦點分別為、，拋物線:的準線與軸的交點為，且．
（I）求的值及橢圓的方程；
（II）過、分別作互相垂直的兩直線與橢圓分別交于、、、四點（如圖），
求四邊形面積的最大值和最小值．

Answer 1

解：（I）由題意，. 拋物線:的準線方程為，所以點的坐標為.
，為的中點.  ……………………………………………….2分
，，即橢圓方程為.  …………………………………….3分
（II）①當直線與軸垂直時，，此時，
四邊形的面積；
同理當與軸垂直時，也有四邊形的面積. …………5分
②當直線、均與軸不垂直時，設直線，，.
由消去得.  ………………………….7分
則，.
所以，；
同理 .    …….……………………………9分
所以四邊形的面積，令得
因為，當時，，，
且是以為自變量的增函數，所以.
綜上可知，．故四邊形面積的最大值為4，最小值為.
…………………………………………………………12分

略