Question

已知點P是曲線y=

3-ex

ex+1

上一動點，α為曲線在P處的切線的傾斜角，α的最小值為

 

，α的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：求出函數的導數，根據導數的幾何意義，利用基本不等式即可得到結論．

解答： 解：函數y=f（x）=

3-ex

ex+1

的導數為f′（x）=

-4ex

(ex+1)2

=

-4ex

(ex)2+2ex+1

=-

4

ex+ 1 ex +2

，
∵ex+

1

ex

+2≥2

ex• 1 ex

+2=2+2=4，當且僅當x=0時取等號，
∴0＜

1

ex+ 1 ex +2

≤

1

4

，
即0＜

4

ex+ 1 ex +2

≤1，
-1≤-

4

ex+ 1 ex +2

＜0
則-1≤f′（x）＜0，
即-1≤tanα＜0，
∴

3π

4

≤α＜π，
即α的最小值為

3π

4

，α的取值范圍是

3π

4

≤α＜π，
故答案為：

3π

4

，

3π

4

≤α＜π

點評：本題主要考查導數的幾何意義，函數導數和傾斜角之間的關系，利用基本不等式求出最值是解決本題的關鍵．綜合性較強，質量較高．