Question

用長為18m的鋼條圍成一個長方體容器的框架，如果所制的容器的長與寬之比為2：1，那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：應用題,導數的綜合應用

分析：設長方體的寬為xm，則長為2xm，高為（4.5-3x）m，易求x的范圍，則長方體的容積為V（x）=2x²（4.5-3x）=9x²-6x³（0＜x＜

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），利用導數可求得函數的極大值，可判斷即為最大值．

解答： 解：設長方體的寬為xm，則長為2xm，高為（4.5-3x）m，
由

x＞0 4.5-3x＞0

，解得0＜x＜

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，
故長方體的容積為V（x）=2x²（4.5-3x）=9x²-6x³（0＜x＜

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），
從而V′（x）=18x-18x²=18x（1-x），
令V′（x）=0，解得x=1或x=0 （舍去），
當0＜x＜1時，V′（x）＞0；當1＜x＜

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時，V′（x）＜0，
故在x=1處V（x）取得極大值，并且這個極大值就是V（x）的最大值，
從而最大體積為V（1）=9×1²-6×1³=3（m³），此時容器的高為4.5-3=1.5 m．
因此，容器高為1.5 m時容器的容積最大，最大容積為3 m³．

點評：本題考查利用導數研究實際問題中函數的最值問題，根據已知條件正確表示出目標函數是解題關鍵，注意函數的定義域要考慮實際意義．