Question

設函數f（x）=x³+ax²-a²x+m（a＞0）
（1）求f（x）的單調增區間；
（2）a=1時，函數f（x）有三個互不相同的零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,根的存在性及根的個數判斷

專題：導數的綜合應用

分析：（1）通過求導，解關于導函數的不等式，求出函數f（x）的單調區間；（2）將a=1代入函數表達式，通過求導得到函數的極值，解不等式組，求出即可．

解答： 解：（1）f'（x）=3x²+2ax-a²=（3x-a）•（x+a）
令f'（x）＞0，
得x＞

a

3

或x＜-a
∴增區間為：(

a

3

，+∞)、(-∞，-a)；
（2）當a=1時，f'（x）=（3a-1）•（x+1）
當x變化時，f'（x），f（x）變化如下表：

x	（-∞，-1）	-1	(-1， 1 3 )	1 3	( 1 3 ，+∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調遞增↗		單調遞減↘		單調遞增↗

∴當x=-1時，f（x）取極大值f（-1）=m+1，
∴當x=

1

3

時，f（x）取極小值f(

1

3

)=m-

5

27

，
∵f（x）有三個互不相同的零點，
∴

m+1＞0 m- 5 27 ＜0

，
∴-1＜m＜

5

27

∴m∈(-1，

5

27

)．

點評：本題考察了函數的單調性，導數的應用，求函數中參數的范圍，屬于中檔題．