Question

【題目】如圖1所示，在中， ， ， ， 為的平分線，點在線段上， ．如圖2所示，將沿折起，使得平面平面，連結，設點是的中點．

圖1 圖2

（1）求證： 平面；

（2）在圖2中，若平面，其中為直線與平面的交點，求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）取的中點，連接，證明，利用平面與平面垂直的性質證明平面；（2）過點作交于點,因為平面平面， 平面，所以平面,求得，利用棱錐的體積公式，即可求三棱錐的體積.

試題解析：（1）在題圖1中，因為， ， ，所以．

因為為的平分線，所以，

所以．

又因為， ，所以

則，所以，即

在題圖2中，因為平面平面，平面平面， 平面，

所以平面．

（2）在題圖2中，因為平面， 平面，平面平面，

所以

因為點在線段上， ，點是的中點，所以

過點作交于點

因為平面平面， 平面，所以平面

由條件得

又 ，

所以三棱錐的體積為 ．

【方法點晴】本題主要考查線面垂直的判定定理及面面垂直的性質、棱錐的體積公式，屬于難題.解答空間幾何體中垂直關系時，一般要根據已知條件把空間中的線線、線面、面面之間垂直關系進行轉化，轉化時要正確運用有關的定理，找出足夠的條件進行推理；證明直線和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推論；（3）利用面面平行的性質；（4）利用面面垂直的性質，當兩個平面垂直時，在一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面.