Question

【題目】已知圓過兩點， ，且圓心在直線上．

（Ⅰ）求圓的標準方程；

（Ⅱ）直線過點且與圓有兩個不同的交點， ，若直線的斜率大于0，求的取值范圍；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，是否存在直線使得弦的垂直平分線過點，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（x﹣1）2+y2=25；（Ⅱ） ；（Ⅲ）x+2y﹣1=0.

【解析】試題分析：（Ⅰ）圓心C是MN的垂直平分線與直線2x-y-2=0的交點，CM長為半徑，進而可得圓的方程；
（Ⅱ）直線l過點（-2，5）且與圓C有兩個不同的交點，則C到l的距離小于半徑，進而得到k的取值范圍；
（Ⅲ）求出AB的垂直平分線方程，將圓心坐標代入求出斜率，進而可得答案．

試題解析：

（I）MN的垂直平分線方程為：x﹣2y﹣1=0與2x﹣y﹣2=0聯立解得圓心坐標為C（1，0）

R2=|CM|2=（﹣3﹣1）2+（3﹣0）2=25

∴圓C的標準方程為：（x﹣1）2+y2=25

（II）設直線的方程為：y﹣5=k（x+2）即kx﹣y+2k+5=0，設C到直線l的距離為d，

則d=

由題意：d＜5 即：8k2﹣15k＞0

∴k＜0或k＞

又因為k＞0

∴k的取值范圍是（，+∞）

（III）設符合條件的直線存在，則AB的垂直平分線方程為：y+1=﹣（x﹣3）即：x+ky+k﹣3=0

∵弦的垂直平分線過圓心（1，0）∴k﹣2=0 即k=2

∵k=2＞

故符合條件的直線存在，l的方程：x+2y﹣1=0.