Question

【題目】已知、為橢圓： （）的左、右焦點，點為橢圓上一點，且．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若圓是以為直徑的圓，直線： 與圓相切，并與橢圓交于不同的兩點、，且，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】試題分析：（1）根據橢圓定義得，再代入點P坐標得（2）由直線與圓相切得，由，利用向量數量積得，聯立直線方程與橢圓方程，結合韋達定理代入化簡得的值．

試題解析：（1）由題意得： 解得

則橢圓方程為．

（2）由直線與圓相切，得， ，

設， ，

由消去，整理得，

恒成立，

所以， ，

，

∵， ，

解得．

點睛: 直線和圓錐曲線的位置關系，一般轉化為直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組，利用韋達定理或求根公式進行轉化，涉及弦長的問題中，應熟練地利用根與系數關系，設而不求法計算弦長；涉及垂直關系時也往往利用根與系數關系、設而不求法簡化運算；涉及過焦點的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解.涉及中點弦問題往往利用點差法.