Question

【題目】已知正整數滿足，.令， ， .對任意的，記，其中，表示不超過實數的最大整數，表示集合中元素的個數.證明：

（1）；

（2）.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】

顯然，為奇數，為偶數，其中，為歐拉函數.

由歐拉定理，知對任意的，有

于是，對集合的任意子集有

.①

首先證明：，且均為奇數.

由，知集合在數軸上關于點對稱，且、.

將集合中連續的正整數稱為一段，則由的對稱性知其可分成奇數段，每段中均有一個數屬于集合，也有一個數屬于集合.

則為奇數，且集合與關于對稱，即.

故.

其次證明：對任意的，存在唯一的，使得.

考慮.

顯然，.

若，則，矛盾.

故模兩兩不同余，其中恰有一個數模余1.

又，故集合中其余數可兩兩配對，每對的積模余1.

從而，.

取，則，且，.

再證明：中的數可兩兩配對，每對數的積模余1.即證明：對任意的 ，則.

否則，不妨設，即、，，.

設.則

，這與矛盾.

從而，.

最后，在式①中令得

.