Question

【題目】已知橢圓C：（a＞b＞0），以橢圓短軸的一個(gè)頂點(diǎn)B與兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F2為頂點(diǎn)的三角形周長(zhǎng)是4+2，且∠BF1F2=．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若過點(diǎn)Q（1，）引曲線C的弦AB恰好被點(diǎn)Q平分，求弦AB所在的直線方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）y=-x+1

【解析】

（1）利用以橢圓短軸的一個(gè)頂點(diǎn)B與兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F2為頂點(diǎn)的三角形周長(zhǎng)是4+2，且∠BF1F2，建立方程，可求橢圓的幾何量，從而可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)斜率l不存在時(shí)，過點(diǎn)Q（1，）引曲線C的弦AB不被點(diǎn)Q平分；當(dāng)直線l的斜率為k時(shí)，設(shè)方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及過點(diǎn)Q（1，）引曲線C的弦AB恰好被點(diǎn)Q平分，建立方程，即可求得結(jié)論．

（1）∵以橢圓短軸的一個(gè)頂點(diǎn)B與兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F2為頂點(diǎn)的三角形周長(zhǎng)是4+2，且∠BF1F2=．

∴2a+2c=4+2，，∴a=2，c=∴

∴橢圓方程為．

（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)Q（1，）引曲線C的弦AB不被點(diǎn)Q平分；

當(dāng)直線l的斜率為k時(shí)，l：y-=k（x-1）與橢圓方程聯(lián)立，

消元可得（1+4k2）x2-4k（2k-1）x+（1-2k）2-4=0，設(shè)

∵過點(diǎn)Q（1，）引曲線C的弦AB恰好被點(diǎn)Q平分，∴，

∴解得．

∵∴點(diǎn)Q在橢圓內(nèi)∴直線l：，即l：．