Question

【題目】在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，，，，，E為PD的中點，點F在PC上，且．

（1）求證：平面平面PAD；

（2）求二面角F-AE-P的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）先證明，然后可證明平面PAD，從而得證面面垂直；

（2）過點A作AD的垂線交BC于點M．以為軸建立空間直角坐標系，用空間向量法求得二面角．

（1）證明：因為平面ABCD，平面ABCD，所以．

又因為，，平面PAD，所以平面PAD．

又平面PCD，所以平面平面PAD．

（2）過點A作AD的垂線交BC于點M．因為平面ABCD，平面ABCD，

所以，．建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，．因為E為PD的中點，所以．

所以，，，所以，

所以．設平面AEF的法向量為，則

，令，則，．于是．

又因為平面PAD的一個法向量為，所以．

由題知，二面角為銳角，所以其余弦值為．