Question

【題目】已知函數f(x)＝xln x－aex(e為自然對數的底數)有兩個極值點，則實數a的取值范圍是(　　)

A. B.(0，e)

C. D.(－∞，e)

Answer 1

【答案】A

【解析】

先求函數導數，再根據題意將導函數為零轉化為兩個函數有兩個不同的交點，然后求的導函數零點，列表分析導函數符號變化規律，確定單調性，進而確定圖象，最后根據圖象確定實數a的取值范圍.

f(x)＝x ln x－aex(x>0)，∴f′(x)＝ln x＋1－aex(x>0)，由已知函數f(x)有兩個極值點可得y＝a和g(x)＝在(0，＋∞)上有兩個交點，

g′(x)＝ (x>0)，令h(x)＝－ln x－1，

則h′(x)＝－－<0，

∴h(x)在(0，＋∞)上單調遞減且h(1)＝0，

∴當x∈(0，1]時，h(x)≥0，即g′(x)≥0，g(x)在(0，1]上單調遞增，g(x)≤g(1)＝，

當x∈(1，＋∞)時，h(x)<0，即g′(x)<0，g(x)在(1，＋∞)上單調遞減，

故g(x)max＝g(1)＝，

而x→0時，g(x)→－∞，x→＋∞時，g(x)→0；

若y＝a和g(x)在(0，＋∞)上有兩個交點，只需0<a<.