Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）當時,求函數的單調區間;

（Ⅱ）當時,證明.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ)詳見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）易求得函數的定義域為，由函數，則，令或，即可求得函數的單調區間；

（Ⅱ）當時， ，要證，只需證，所以此問就是求函數在定義域區間的最小值．

試題解析： （Ⅰ）易求得函數的定義域為，

已知函數，

所以，

令，即

當時， 恒成立，所以函數的單調遞增區間是，無單調遞減區間。

當時，不等式的解為或

又因為，

所以函數的單調遞增區間是，單調遞減區間為

當時，不等式的解為或

又因為，

所以函數的單調遞增區間是，單調遞減區間為

綜上所述，當時，函數的單調遞增區間是，無單調遞減區間。

當時，函數的單調遞增區間是，單調遞減區間為

當時，函數的單調遞增區間是，單調遞減區間為

（Ⅱ）當時，

所以

已知

令，得

所以函數的單調遞增區間是，單調遞減區間為

所以

所以