Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，平面,分別是線段的中點，.

(1)證明：平面；

(2)設點是線段的中點，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】分析：（1）取的中點為，連接,證明四邊形為平行四邊形即可證明平面；

（2）以為坐標原點，的方向為軸，軸，軸正方向，建立空間直角坐標系. 利用空間向量求出二面角的余弦值.進而得到正弦值.

詳解：

（1）證明：取的中點為，連接,

∵四邊形是正方形, 分別是線段 的中點,

,且,

∴且,

∴四邊形為平行四邊形，

∴且平面，平面，

（2）解：平面，四邊形是正方形，

兩兩垂直，以為坐標原點，的方向為軸，軸，軸正方向，建立空間直角坐標系.

則

.

設平面的法向量為，

則 得 可取

設平面的法向量為，則 得

可取

所以

所以二面角的正弦值為.