Question

【題目】已知三棱錐P－ABC的平面展開圖中，四邊形ABCD為邊長等于的正方形，△ABE和△BCF均為正三角形，在三棱錐P－ABC中：

（1）證明：平面PAC⊥平面ABC；

（2）若點M為棱PA上一點且，求二面角P－BC－M的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）如圖①，設AC的中點為O，連結.

由題意，得，PO=2，.

因為在△PAC中，PA=PC，O為AC的中點，所以PO⊥AC.

又因為在△POB中，PO=2，OB=2，PB=，，所以PO⊥OB.

因為AC∩OB=O，AC，OB平面ABC，所以PO⊥平面ABC.

又因為PO平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.

（2）由PO⊥平面ABC，OB⊥AC，所以.

于是以OC、OB、OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖②所示的空間直角坐標系，

則，，

，.

設平面MBC的法向量為，則由得，

令，則，即.

設平面PBC的法向量為，由得，

令x2=1，則，即.

.

由圖可知，二面角P－BC－M的余弦值為.