Question

【題目】如圖，在多面體中，平面平面，四邊形是邊長為的正方形，是等腰直角三角形，且，平面，．

（1）求異面直線和所成角的余弦值；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用面面垂直的性質定理證明出平面，然后以為坐標原點，為一組基底建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求出異面直線和所成角的余弦值；

（2）求出平面和的法向量，然后利用空間向量法可求出二面角的余弦值．

（1），即，

因為平面平面，平面平面，平面，

平面，

由于四邊形為邊長為的正方形, 所以、、兩兩互相垂直．

以為坐標原點，為一組基底建立如圖所示的空間直角坐標系.

平面且，

、、、、、，

，，則，

所以和所成角的余弦值為；

（2），，設平面的一個法向量為，

由，取，得，

平面的一個法向量為，，

由二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為.