Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ=2sinθ，它在點(diǎn) 處的切線為直線l．
（1）求直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）已知點(diǎn)P為橢圓 =1上一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ=2sinθ，

∴ρ2cos2θ=2ρsinθ，

∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為y= x2，

∴y′=x，又M（2 ， ）的直角坐標(biāo)為（2，2），

∴曲線C在點(diǎn)（2，2）處的切線方程為y﹣2=2（x﹣2），

即直線l的直角坐標(biāo)方程為：2x﹣y﹣2=0

（2）解：P為橢圓 =1上一點(diǎn)，設(shè)P（ cosα，2sinα），

則P到直線l的距離d= = ，

當(dāng)sin（α﹣ ）=﹣ 時(shí)，d有最小值0．

當(dāng)sin（α﹣ ）=1時(shí)，d有最大值 ．

∴P到直線l的距離的取值范圍為：[0， ]

【解析】（1）利用極坐標(biāo)方程與普通方程的互化求解即可．（2）設(shè)出橢圓的參數(shù)方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式化簡(jiǎn)求解即可．