Question

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）經過點（ ，1），過點A（0，1）的動直線l與橢圓C交于M、N兩點，當直線l過橢圓C的左焦點時，直線l的斜率為 ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在與點A不同的定點B，使得∠ABM=∠ABN恒成立？若存在，求出點B的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：橢圓C： （a＞b＞0）經過點（ ，1），

可得 + =1，又設左焦點為（﹣c，0），有 = ，

即c= ，a2﹣b2=2，解得a=2，b= ，

則橢圓方程為

（2）

解：假設存在與點A不同的定點B，使得∠ABM=∠ABN恒成立．

當直線MN的斜率為0時，由對稱性可得B在y軸上，設為B（0，t），

設直線MN的方程為x=my+1，

代入橢圓方程可得，（2+m2）y2+2my﹣3=0，

設M（x1，y1），N（x2，y2），

可得y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ，

由假設可得kBM+kBN=0，

即為 + =0，

即有x1y2+x2y1=t（x1+x2），

即m（y1+1）y2+（my2+1）y1=t[m（y1+y2）+2]，

即有2my1y2+（y1+y2）=t[m（y1+y2）+2]，

即為 ﹣ =t（﹣ +2），

化為﹣8m=4t，即t+2m=0，由于m為任意的，則t不為定值．

故不存在與點A不同的定點B，使得∠ABM=∠ABN恒成立

【解析】（1）將點（ ，1）代入橢圓方程，設左焦點為（﹣c，0），再由斜率公式，可得c的值，結合a，b，c的關系，即可得到橢圓方程；（2）假設存在與點A不同的定點B，使得∠ABM=∠ABN恒成立．當直線MN的斜率為0時，由對稱性可得B在y軸上，設為B（0，t），設直線MN的方程為x=my+1，代入橢圓方程，運用韋達定理，設M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），由假設可得kBM+kBN=0，化簡整理，可得t+2m=0，故不存在這樣的定點B．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．