Question

設定義在R上的函數f（x），對任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）
（1）求證f（x）是奇函數；
（2）如果x＞0，f（x）＜0，求證在R上是減函數．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0，可求得f（0）=0，再令y=-x即可證得f（x）為奇函數；
（2）利用函數單調性的定義，x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，作差f（x₂）-f（x₁）判斷其符號即可證得結論．

解答：（1）證明：∵函數f（x）的定義域為R，f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（0）=f（0）+f（0），即f（0）=0，
∴f（x-x）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數．
（2）證明：設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
∵f（x）為奇函數，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴函數f（x）為減函數．

點評：本題考查抽象函數及其應用，考查函數奇偶性與單調性的判斷與證明，考查分析轉化的能力，屬于中檔題．